MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3+pX2+qX+rP(X) = X^3 + pX^2 + qX + r cu rădăcinile reale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Dacă x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie aritmetică cu rația d≠0d \neq 0, exprimați pp și qq în funcție de rr și dd.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile ca x1=a−dx_1 = a - d, x2=ax_2 = a, x3=a+dx_3 = a + d, unde aa este termenul mediu al progresiei aritmetice.
24 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−px_1 + x_2 + x_3 = -p, x1x2+x2x3+x3x1=qx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = q, x1x2x3=−rx_1 x_2 x_3 = -r. Înlocuind, obținem (a−d)+a+(a+d)=3a=−p (a-d) + a + (a+d) = 3a = -p, deci p=−3ap = -3a. Apoi, (a−d)a+a(a+d)+(a+d)(a−d)=a2−ad+a2+ad+a2−d2=3a2−d2=q(a-d)a + a(a+d) + (a+d)(a-d) = a^2 - ad + a^2 + ad + a^2 - d^2 = 3a^2 - d^2 = q. Și (a−d)⋅a⋅(a+d)=a(a2−d2)=−r(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = a(a^2 - d^2) = -r.
33 puncte
Din a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r, exprimăm aa în funcție de rr și dd: a3−ad2=−ra^3 - a d^2 = -r. Nu putem izola direct aa, dar folosim p=−3ap = -3a și q=3a2−d2q = 3a^2 - d^2. Din a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r, avem a2−d2=−raa^2 - d^2 = -\frac{r}{a}. Înlocuind în qq, q=3a2−d2=2a2+(a2−d2)=2a2−raq = 3a^2 - d^2 = 2a^2 + (a^2 - d^2) = 2a^2 - \frac{r}{a}. Cu p=−3ap = -3a, avem a=−p3a = -\frac{p}{3}. În final, din a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r, se obține pp și qq în funcție de rr și dd: p=−3r23p = -3\sqrt[3]{\frac{r}{2}} (presupunând condiții pentru realitate) sau mai simplu, dacă dd este cunoscut, aa se determină din a3−ad2+r=0a^3 - a d^2 + r = 0. Pentru o expresie generală, p=−3ap = -3a și q=3a2−d2q = 3a^2 - d^2 cu aa satisfăcând a3−ad2+r=0a^3 - a d^2 + r = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.