MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+4x−2P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2. Să se arate că P(x)P(x) are o rădăcină reală și două rădăcini complexe conjugate. Apoi, să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se caută rădăcini raționale posibile: ±1,±2\pm1, \pm2. Se verifică că P(1)=0P(1)=0, deci x=1x=1 este rădăcină reală.
24 puncte
Se efectuează împărțirea P(x):(x−1)P(x) : (x-1) și se obține P(x)=(x−1)(x2−2x+2)P(x) = (x-1)(x^2 - 2x + 2). Discriminantul trinomului este Δ=4−8=−4<0\Delta = 4 - 8 = -4 < 0, deci x2−2x+2x^2 - 2x + 2 are două rădăcini complexe conjugate: x=1±ix = 1 \pm i.
33 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor: dacă x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt rădăcinile, atunci x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 - 2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3). Din relațiile lui Viète pentru P(x)P(x), avem x1+x2+x3=3x_1+x_2+x_3=3, x1x2+x1x3+x2x3=4x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3=4, deci suma pătratelor este 32−2⋅4=9−8=13^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.