MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile lui PP sunt în progresie aritmetică și că suma pătratelor rădăcinilor este 14, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului cu r−dr-d, rr, r+dr+d, deoarece sunt în progresie aritmetică. Din relațiile lui Viète, avem: suma rădăcinilor 3r=−a3r = -a, suma produselor a câte două rădăcini 3r2−d2=b3r^2 - d^2 = b, iar produsul rădăcinilor r(r2−d2)=−cr(r^2 - d^2) = -c.
23 puncte
Condiția sumei pătratelor rădăcinilor: (r−d)2+r2+(r+d)2=14(r-d)^2 + r^2 + (r+d)^2 = 14. Simplificând, obținem 3r2+2d2=143r^2 + 2d^2 = 14.
34 puncte
Din 3r2+2d2=143r^2 + 2d^2 = 14 și 3r=−a3r = -a, rezolvăm sistemul. Alegem, de exemplu, d≥0d \geq 0. Din 3r2+2d2=143r^2 + 2d^2 = 14, putem încerca valori: pentru r=2r=2, 3(4)+2d2=14⇒12+2d2=14⇒d2=1⇒d=13(4) + 2d^2 = 14 \Rightarrow 12 + 2d^2 = 14 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d=1. Atunci a=−3r=−6a = -3r = -6, b=3r2−d2=12−1=11b = 3r^2 - d^2 = 12 - 1 = 11, c=−r(r2−d2)=−2(4−1)=−6c = -r(r^2 - d^2) = -2(4-1) = -6. Verificare: polinomul X3−6X2+11X−6X^3 - 6X^2 + 11X - 6 are rădăcinile 1, 2, 3 (în progresie aritmetică) și suma pătratelor 12+22+32=141^2+2^2+3^2=14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.