MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Determinați restul împărțirii polinomului P(X)=X2024−2X2023+X−3P(X) = X^{2024} - 2X^{2023} + X - 3 la polinomul Q(X)=X2−1Q(X) = X^2 - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Restul împărțirii unui polinom la un polinom de gradul 2 este de grad cel mult 1, deci notăm R(X)=aX+bR(X) = aX + b.
23 puncte
Conform teoremei restului, avem P(X)=(X2−1)⋅C(X)+aX+bP(X) = (X^2 - 1) \cdot C(X) + aX + b pentru un polinom C(X)C(X). Evaluăm în X=1X=1 și X=−1X=-1: P(1)=a⋅1+bP(1) = a \cdot 1 + b și P(−1)=a⋅(−1)+bP(-1) = a \cdot (-1) + b.
32 puncte
Calculăm P(1)=12024−2⋅12023+1−3=1−2+1−3=−3P(1) = 1^{2024} - 2 \cdot 1^{2023} + 1 - 3 = 1 - 2 + 1 - 3 = -3 și P(−1)=(−1)2024−2⋅(−1)2023+(−1)−3=1−2⋅(−1)−1−3=1+2−1−3=−1P(-1) = (-1)^{2024} - 2 \cdot (-1)^{2023} + (-1) - 3 = 1 - 2 \cdot (-1) - 1 - 3 = 1 + 2 - 1 - 3 = -1. Obținem sistemul: {a+b=−3−a+b=−1\begin{cases} a + b = -3 \\ -a + b = -1 \end{cases}.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: adunăm ecuațiile: 2b=−4⇒b=−22b = -4 \Rightarrow b = -2, apoi din prima ecuație, a−2=−3⇒a=−1a - 2 = -3 \Rightarrow a = -1. Deci restul este R(X)=−X−2R(X) = -X - 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.