MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeProgresii Geometrice
Fie polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Rădăcinile sale sunt numere complexe și formează o progresie geometrică. Știind că suma rădăcinilor este 3 și că modulul uneia dintre rădăcini este 2, determinați coeficienții pp, qq, rr.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notează rădăcinile ca z1,z2,z3z_1, z_2, z_3. Folosește relațiile lui Viète: z1+z2+z3=−pz_1 + z_2 + z_3 = -p, z1z2+z2z3+z3z1=qz_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = q, z1z2z3=−rz_1 z_2 z_3 = -r. Din sumă, z1+z2+z3=3z_1 + z_2 + z_3 = 3, deci p=−3p = -3.
23 puncte
Din progresia geometrică, fie z1=az_1 = a, z2=arz_2 = ar, z3=ar2z_3 = ar^2 cu rația rr. Atunci a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3 și ∣a∣=2|a| = 2 (fără a pierde generalitatea, presupunem ∣z1∣=2|z_1| = 2).
33 puncte
Rezolvă a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3 și ∣a∣=2|a| = 2. Deoarece coeficienții sunt reali, consideră cazurile: dacă aa este real, atunci a=±2a = \pm 2; dacă aa este complex, atunci aa și conjugatul său pot fi în progresie. Găsește aa și rr astfel încât a(1+r+r2)=3a(1 + r + r^2) = 3 și ∣a∣=2|a| = 2, verificând condițiile pentru progresie geometrică și coeficienți reali.
42 puncte
Calculează qq și rr din relațiile lui Viète folosind rădăcinile găsite. De exemplu, pentru a=2a = 2 și rr astfel încât 2(1+r+r2)=32(1 + r + r^2) = 3, se obține r=−1±i32r = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}, apoi q=z1z2+z2z3+z3z1q = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 și r=−z1z2z3r = -z_1 z_2 z_3. Polinomul este P(x)=x3−3x2+qx+rP(x) = x^3 - 3x^2 + qx + r cu valorile specifice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.