MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeDerivate
Fie polinomul P(X)=X4+pX3+qX2+rX+sP(X) = X^4 + pX^3 + qX^2 + rX + s cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt de forma x1=a+bix_1 = a+bi, x2=a−bix_2 = a-bi, x3=c+dix_3 = c+di, x4=c−dix_4 = c-di, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}, și că P(2)=5P(2) = 5 și P′(1)=0P'(1) = 0, unde P′(X)P'(X) este derivata polinomului, determinați coeficienții p,q,r,sp, q, r, s.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se utilizează formulele lui Viete pentru a exprima coeficienții în funcție de rădăcini: p=−(x1+x2+x3+x4)=−2(a+c)p = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4) = -2(a+c), q=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=(a2+b2)+(c2+d2)+4acq = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = (a^2+b^2) + (c^2+d^2) + 4ac, r=−(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)=−2a(c2+d2)−2c(a2+b2)r = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4) = -2a(c^2+d^2) - 2c(a^2+b^2), s=x1x2x3x4=(a2+b2)(c2+d2)s = x_1x_2x_3x_4 = (a^2+b^2)(c^2+d^2).
23 puncte
Se scrie condițiile date: P(2)=16+8p+4q+2r+s=5P(2) = 16 + 8p + 4q + 2r + s = 5 și P′(1)=4+3p+2q+r=0P'(1) = 4 + 3p + 2q + r = 0, unde P′(X)=4X3+3pX2+2qX+rP'(X) = 4X^3 + 3pX^2 + 2qX + r.
34 puncte
Se înlocuiesc expresiile pentru p,q,r,sp, q, r, s din step 1 în ecuațiile din step 2, obținând un sistem în a,b,c,da, b, c, d. Din P′(1)=0P'(1)=0, se deduce a+c=1a+c=1. Substituind în P(2)=5P(2)=5 și simplificând, se rezolvă sistemul, de exemplu prin considerarea b=d=0b=d=0 pentru simplitate sau folosind relații suplimentare, rezultând p=−2p=-2, q=3q=3, r=−2r=-2, s=1s=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.