MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră polinomul f(X)=X3+aX2+bX+cf(X) = X^3 + aX^2 + bX + c. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, suma pătratelor rădăcinilor este 14, iar produsul rădăcinilor este -6, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile cu x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 în progresie aritmetică. Fie x2=dx_2 = d, atunci x1=d−rx_1 = d - r și x3=d+rx_3 = d + r, unde rr este rația.
23 puncte
Folosim relațiile dintre rădăcini și coeficienți pentru un polinom de gradul 3: suma rădăcinilor x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, suma produselor două câte două x1x2+x2x3+x3x1=bx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = b, și produsul rădăcinilor x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c.
32 puncte
Din enunț, suma pătratelor rădăcinilor: (d−r)2+d2+(d+r)2=14(d-r)^2 + d^2 + (d+r)^2 = 14. Simplificând: 3d2+2r2=143d^2 + 2r^2 = 14. Produsul rădăcinilor: (d−r)d(d+r)=d(d2−r2)=−6(d-r)d(d+r) = d(d^2 - r^2) = -6.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: {3d2+2r2=14d(d2−r2)=−6\begin{cases} 3d^2 + 2r^2 = 14 \\ d(d^2 - r^2) = -6 \end{cases}. Din prima ecuație, r2=14−3d22r^2 = \frac{14 - 3d^2}{2}. Substituim în a doua: d(d2−14−3d22)=−6d\left(d^2 - \frac{14 - 3d^2}{2}\right) = -6, care conduce la 2d3−14d+12=02d^3 - 14d + 12 = 0. Rezolvând, găsim d=1d = 1 sau d=−2d = -2. Pentru d=1d=1, r2=14−32=112r^2 = \frac{14 - 3}{2} = \frac{11}{2}, dar atunci produsul nu dă -6, deci verificăm d=−2d=-2: r2=14−122=1r^2 = \frac{14 - 12}{2} = 1, deci r=±1r = \pm 1. Atunci rădăcinile sunt −3,−2,−1-3, -2, -1 sau −1,−2,−3-1, -2, -3 (aceleași). Calculăm a=−(x1+x2+x3)=−((−3)+(−2)+(−1))=6a = -(x_1+x_2+x_3) = -((-3)+(-2)+(-1)) = 6, b=x1x2+x2x3+x3x1=(−3)(−2)+(−2)(−1)+(−1)(−3)=6+2+3=11b = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = (-3)(-2) + (-2)(-1) + (-1)(-3) = 6+2+3=11, c=−x1x2x3=−((−3)(−2)(−1))=−(−6)=6c = -x_1x_2x_3 = -((-3)(-2)(-1)) = -(-6) = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.