MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul f=X3+mX2+nX+10f = X^3 + mX^2 + nX + 10, cu m,n∈Rm,n \in \mathbb{R}. Știind că polinomul admite rădăcina 1−2i1-2i, unde i2=−1i^2 = -1, determinați valorile reale ale lui mm și nn și apoi aflați toate rădăcinile polinomului ff.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Dacă 1−2i1-2i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1+2i1+2i este rădăcină, deoarece coeficienții sunt reali.
23 puncte
Notând x1=1−2ix_1 = 1-2i, x2=1+2ix_2 = 1+2i, iar a treia rădăcină x3x_3, din relațiile lui Viète pentru polinomul X3+mX2+nX+10X^3+mX^2+nX+10 avem:
  1. x1+x2+x3=−mx_1+x_2+x_3 = -m.
  2. x1x2+x1x3+x2x3=nx_1x_2+x_1x_3+x_2x_3 = n.
  3. x1x2x3=−10x_1x_2x_3 = -10.
32 puncte
Calculăm x1+x2=2x_1+x_2 = 2, x1x2=(1−2i)(1+2i)=12−(2i)2=1−(−4)=5x_1x_2 = (1-2i)(1+2i) = 1^2 - (2i)^2 = 1 - (-4) = 5. Din 3) 5⋅x3=−10⇒x3=−25 \cdot x_3 = -10 \Rightarrow x_3 = -2.
42 puncte
Din 1) 2+(−2)=−m⇒0=−m⇒m=02 + (-2) = -m \Rightarrow 0 = -m \Rightarrow m=0. Din 2) 5+x1x3+x2x3=5+x3(x1+x2)=5+(−2)⋅2=5−4=1=n⇒n=15 + x_1x_3 + x_2x_3 = 5 + x_3(x_1+x_2) = 5 + (-2)\cdot 2 = 5 - 4 = 1 = n \Rightarrow n=1.
51 punct
Rădăcinile sunt 1−2i1-2i, 1+2i1+2i, −2-2. Polinomul este f=X3+X+10f = X^3 + X + 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.