MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivate
Se consideră polinomul R(x)=x3−(a+1)x2+(a+b)x−bR(x) = x^3 - (a+1)x^2 + (a+b)x - b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui aa și bb pentru care polinomul are o rădăcină dublă, și apoi găsiți toate rădăcinile polinomului în fiecare caz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția pentru o rădăcină dublă α\alpha este R(α)=0R(\alpha) = 0 și R′(α)=0R'(\alpha) = 0. Derivata polinomului este R′(x)=3x2−2(a+1)x+(a+b)R'(x) = 3x^2 - 2(a+1)x + (a+b).
24 puncte
Formăm sistemul de ecuații: α3−(a+1)α2+(a+b)α−b=0\alpha^3 - (a+1)\alpha^2 + (a+b)\alpha - b = 0 și 3α2−2(a+1)α+(a+b)=03\alpha^2 - 2(a+1)\alpha + (a+b) = 0. Din a doua ecuație, exprimăm a+b=2(a+1)α−3α2a+b = 2(a+1)\alpha - 3\alpha^2 și substituim în prima ecuație.
33 puncte
După calcule, obținem α2−α=0\alpha^2 - \alpha = 0, deci α=0\alpha = 0 sau α=1\alpha = 1. Pentru α=0\alpha = 0, din R(0)=−b=0R(0) = -b = 0 avem b=0b=0, și din R′(0)=a+b=0R'(0) = a+b = 0 avem a=0a=0. Polinomul devine R(x)=x3−x2=x2(x−1)R(x) = x^3 - x^2 = x^2(x-1), cu rădăcinile 00 (dublă) și 11. Pentru α=1\alpha = 1, din R′(1)=3−2(a+1)+(a+b)=0R'(1) = 3 - 2(a+1) + (a+b) = 0 obținem a+b=2a+1a+b = 2a+1, și din R(1)=0R(1)=0 aceeași condiție. Rezultă b=2−ab = 2-a. Atunci R(x)=x3−(a+1)x2+2x−(2−a)=(x−1)2(x−(a−1))R(x) = x^3 - (a+1)x^2 + 2x - (2-a) = (x-1)^2(x - (a-1)), cu rădăcinile 11 (dublă) și a−1a-1, pentru a≠2a \neq 2 (altfel rădăcina triplă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.