MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie polinomul P(X)=X4−4X3+6X2−4X+5P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 5. Determinați rădăcinile complexe ale acestui polinom și arătați că acestea sunt vârfurile unui pătrat în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observați că P(X)=(X−1)4+4P(X) = (X-1)^4 + 4 prin completarea pătratului sau recunoașterea formei binomului la puterea a patra.
23 puncte
Rezolvați ecuația (X−1)4=−4(X-1)^4 = -4 pentru a găsi rădăcinile, scriind −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos \pi + i \sin \pi) și aplicând formula radicalului complex.
32 puncte
Exprimați rădăcinile în formă algebrică a+bia+bi: Xk=1+44(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)X_k = 1 + \sqrt[4]{4} \left( \cos \frac{\pi + 2k\pi}{4} + i \sin \frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
42 puncte
Arătați că distanțele dintre rădăcini consecutive sunt egale cu 8\sqrt{8} și că unghiurile dintre ele sunt de 90∘90^\circ, folosind proprietăți ale numerelor complexe, confirmând că reprezentările lor geometrice sunt vârfurile unui pătrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.