MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d. Știind că x=1x=1 este rădăcină dublă a polinomului și că împărțind P(x)P(x) la x2+1x^2+1 se obține restul 2x+32x+3, determinați coeficienții a, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Din faptul că x=1x=1 este rădăcină dublă, avem P(1)=0P(1)=0 și P′(1)=0P'(1)=0.
22 puncte
Din împărțirea la x2+1x^2+1 cu restul 2x+32x+3, avem P(i)=2i+3P(i) = 2i+3 și P(−i)=−2i+3P(-i) = -2i+3, unde i2=−1i^2=-1.
31 punct
Scriem P(1)=0P(1)=0: 1+a+b+c+d=01 + a + b + c + d = 0.
41 punct
Scriem P′(1)=0P'(1)=0: 4+3a+2b+c=04 + 3a + 2b + c = 0.
52 puncte
Din P(i)=3+2iP(i)=3+2i, obținem (1−b+d)+(c−a)i=3+2i(1-b+d) + (c-a)i = 3+2i, deci 1−b+d=31-b+d=3 și c−a=2c-a=2. Din P(−i)=3−2iP(-i)=3-2i rezultă aceleași ecuații.
62 puncte
Rezolvăm sistemul: din 1−b+d=31-b+d=3 avem d=b+2d=b+2, din c−a=2c-a=2 avem c=a+2c=a+2. Înlocuim în ecuațiile de la pașii 3 și 4: 1+a+b+(a+2)+(b+2)=01+a+b+(a+2)+(b+2)=0 și 4+3a+2b+(a+2)=04+3a+2b+(a+2)=0. Rezolvând, obținem a=−12a=-\frac{1}{2}, b=−2b=-2, c=32c=\frac{3}{2}, d=0d=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.