MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x4+4P(x) = x^4 + 4. Demonstrați că P(x)P(x) poate fi factorizat în factori de gradul doi cu coeficienți reali și determinați toate rădăcinile sale complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că x4+4=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2), folosind identitatea algebrică a4+4b4=(a2+2ab+2b2)(a2−2ab+2b2)a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2ab + 2b^2)(a^2 - 2ab + 2b^2) cu a=xa=x și b=1b=1.
24 puncte
Pentru a găsi rădăcinile complexe, rezolvăm x4=−4x^4 = -4. Scriem −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos\pi + i\sin\pi), deci rădăcinile sunt xk=44(cos⁡π+2kπ4+isin⁡π+2kπ4)x_k = \sqrt[4]{4} \left( \cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{4} \right) pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3.
33 puncte
Calculăm explicit: x0=2(cos⁡π4+isin⁡π4)=1+ix_0 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) = 1+i, x1=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)=−1+ix_1 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4} \right) = -1+i, x2=2(cos⁡5π4+isin⁡5π4)=−1−ix_2 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} \right) = -1-i, x3=2(cos⁡7π4+isin⁡7π4)=1−ix_3 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4} \right) = 1-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.