MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(X)=X4−4X3+6X2−4X+aP(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + a. Să se determine valoarea lui aa pentru care polinomul are o rădăcină dublă, și apoi să se descompună polinomul în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Condiția pentru rădăcină dublă: există rr astfel încât P(r)=0P(r) = 0 și P′(r)=0P'(r) = 0.
23 puncte
Calculul derivatei P′(X)=4X3−12X2+12X−4P'(X) = 4X^3 - 12X^2 + 12X - 4. Rezolvarea sistemului: r4−4r3+6r2−4r+a=0r^4 - 4r^3 + 6r^2 - 4r + a = 0 și 4r3−12r2+12r−4=04r^3 - 12r^2 + 12r - 4 = 0.
32 puncte
Din P′(r)=0P'(r)=0, se factorizează: 4(r3−3r2+3r−1)=4(r−1)3=04(r^3 - 3r^2 + 3r - 1) = 4(r-1)^3 = 0, deci r=1r=1. Atunci din P(1)=0P(1)=0, se obține 1−4+6−4+a=0  ⟹  a=11 - 4 + 6 - 4 + a = 0 \implies a = 1.
42 puncte
Pentru a=1a=1, polinomul este P(X)=X4−4X3+6X2−4X+1=(X−1)4P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 4X + 1 = (X-1)^4, deci descompunerea în factori ireductibili peste R\mathbb{R} este (X−1)4(X-1)^4, unde (X−1)(X-1) este factor liniar ireductibil.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.