MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameȘiruri de numere reale
Fie șirul (an)n≥0(a_n)_{n \ge 0} definit prin a0=0a_0 = 0, a1=1a_1 = 1 și an+2=5an+1−6ana_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n pentru orice n≥0n \ge 0. Determinați formula explicită pentru termenul general ana_n și calculați suma ∑k=0nak\sum_{k=0}^{n} a_k.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Se scrie ecuația caracteristică asociată recurenței: r2−5r+6=0r^2 - 5r + 6 = 0, cu rădăcinile r1=2r_1=2 și r2=3r_2=3. Soluția generală este an=A⋅2n+B⋅3na_n = A \cdot 2^n + B \cdot 3^n. Din condițiile inițiale, a0=0a_0=0 implică A+B=0A+B=0, iar a1=1a_1=1 implică 2A+3B=12A+3B=1. Rezolvând, se obține A=−1A=-1, B=1B=1, deci an=3n−2na_n = 3^n - 2^n.
26 puncte
Se calculează suma: ∑k=0nak=∑k=0n(3k−2k)=∑k=0n3k−∑k=0n2k=3n+1−13−1−2n+1−12−1=3n+1−12−(2n+1−1)=3n+1−2n+2+12\sum_{k=0}^{n} a_k = \sum_{k=0}^{n} (3^k - 2^k) = \sum_{k=0}^{n} 3^k - \sum_{k=0}^{n} 2^k = \frac{3^{n+1}-1}{3-1} - \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = \frac{3^{n+1}-1}{2} - (2^{n+1}-1) = \frac{3^{n+1} - 2^{n+2} + 1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.