MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInducție matematicăTrigonometrie
Fie șirul de polinoame (Pn)n∈N(P_n)_{n \in \mathbb{N}} definit prin P0(X)=1P_0(X) = 1, P1(X)=XP_1(X) = X, și Pn+1(X)=2XPn(X)−Pn−1(X)P_{n+1}(X) = 2X P_n(X) - P_{n-1}(X) pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}, avem Pn(cos⁡θ)=cos⁡(nθ)P_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=0n=0: P0(cos⁡θ)=1=cos⁡(0⋅θ)P_0(\cos \theta) = 1 = \cos(0 \cdot \theta).
22 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: P1(cos⁡θ)=cos⁡θ=cos⁡(1⋅θ)P_1(\cos \theta) = \cos \theta = \cos(1 \cdot \theta).
33 puncte
Presupunem că afirmația este adevărată pentru n=kn=k și n=k−1n=k-1, adică Pk(cos⁡θ)=cos⁡(kθ)P_k(\cos \theta) = \cos(k\theta) și Pk−1(cos⁡θ)=cos⁡((k−1)θ)P_{k-1}(\cos \theta) = \cos((k-1)\theta).
43 puncte
Pentru n=k+1n=k+1, folosind relația de recurență: Pk+1(cos⁡θ)=2cos⁡θ⋅Pk(cos⁡θ)−Pk−1(cos⁡θ)=2cos⁡θ⋅cos⁡(kθ)−cos⁡((k−1)θ)P_{k+1}(\cos \theta) = 2 \cos \theta \cdot P_k(\cos \theta) - P_{k-1}(\cos \theta) = 2 \cos \theta \cdot \cos(k\theta) - \cos((k-1)\theta). Folosind identitatea trigonometrică cos⁡αcos⁡β=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)], avem 2cos⁡θcos⁡(kθ)=cos⁡((k+1)θ)+cos⁡((k−1)θ)2 \cos \theta \cos(k\theta) = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta). Așadar, Pk+1(cos⁡θ)=cos⁡((k+1)θ)+cos⁡((k−1)θ)−cos⁡((k−1)θ)=cos⁡((k+1)θ)P_{k+1}(\cos \theta) = \cos((k+1)\theta) + \cos((k-1)\theta) - \cos((k-1)\theta) = \cos((k+1)\theta). Deci afirmația este adevărată pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.