MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAplicații ale derivatelor
Fie polinomul P(x)=x3−3x+aP(x) = x^3 - 3x + a, cu a∈Ra \in \mathbb{R}. Să se determine valorile lui aa pentru care polinomul are trei rădăcini reale distincte. Apoi, pentru aceste valori, să se calculeze suma pătratelor rădăcinilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Derivata polinomului este P′(x)=3x2−3P'(x) = 3x^2 - 3. Se rezolvă P′(x)=0P'(x) = 0, obținând punctele critice x=−1x = -1 și x=1x = 1.
23 puncte
Condiția pentru trei rădăcini reale distincte este ca P(−1)>0P(-1) > 0 și P(1)<0P(1) < 0. Calculând, P(−1)=(−1)3−3(−1)+a=a+2P(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + a = a + 2, deci a+2>0  ⟹  a>−2a + 2 > 0 \implies a > -2. P(1)=13−3(1)+a=a−2P(1) = 1^3 - 3(1) + a = a - 2, deci a−2<0  ⟹  a<2a - 2 < 0 \implies a < 2. Astfel, a∈(−2,2)a \in (-2, 2).
33 puncte
Folosind relațiile lui Viète pentru P(x)=x3−3x+aP(x) = x^3 - 3x + a, suma rădăcinilor x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0, iar suma produselor două câte două x1x2+x1x3+x2x3=−3x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -3. Suma pătratelor rădăcinilor este x12+x22+x32=(x1+x2+x3)2−2(x1x2+x1x3+x2x3)=02−2(−3)=6x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 2(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3) = 0^2 - 2(-3) = 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.