MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X4+4P(X) = X^4 + 4. a) Descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste R\mathbb{R}. b) Descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observăm că X4+4=(X2)2+22=(X2+2)2−(2X)2=(X2+2X+2)(X2−2X+2)X^4 + 4 = (X^2)^2 + 2^2 = (X^2 + 2)^2 - (2X)^2 = (X^2 + 2X + 2)(X^2 - 2X + 2).\n
24 puncte
Descompunerea peste R\mathbb{R}: factorii X2+2X+2X^2 + 2X + 2 și X2−2X+2X^2 - 2X + 2 sunt ireductibili peste R\mathbb{R} deoarece fiecare are discriminantul negativ (Δ=(−2)2−4⋅1⋅2=−4\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = -4).\n
34 puncte
Descompunerea peste C\mathbb{C}: rezolvăm ecuațiile X2+2X+2=0X^2 + 2X + 2 = 0 și X2−2X+2=0X^2 - 2X + 2 = 0 folosind formula X=−b±b2−4ac2aX = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. Obținem rădăcinile X=−1±iX = -1 \pm i și X=1±iX = 1 \pm i. Astfel, P(X)=(X+1−i)(X+1+i)(X−1−i)(X−1+i)P(X) = (X + 1 - i)(X + 1 + i)(X - 1 - i)(X - 1 + i).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.