MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeProgresii Aritmetice
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x)=x^3+ax^2+bx+c un polinom cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a lui P(x)P(x) și că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece polinomul are coeficienți reali, din faptul că 1+i1+i este rădăcină rezultă că și conjugata sa, 1−i1-i, este rădăcină. Fie rr a treia rădăcină.
23 puncte
Rădăcinile 1−i1-i, rr, 1+i1+i sunt în progresie aritmetică, deci 2r=(1−i)+(1+i)=22r = (1-i)+(1+i)=2, adică r=1r=1. Astfel, rădăcinile sunt x1=1−ix_1=1-i, x2=1x_2=1, x3=1+ix_3=1+i.
33 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor S1=x1+x2+x3=3=−aS_1 = x_1+x_2+x_3 = 3 = -a, deci a=−3a=-3. Suma produselor două câte două: S2=x1x2+x2x3+x3x1=(1−i)⋅1+1⋅(1+i)+(1+i)(1−i)=1−i+1+i+2=4=bS_2 = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = (1-i)\cdot1 + 1\cdot(1+i) + (1+i)(1-i) = 1-i+1+i+2 = 4 = b, deci b=4b=4. Produsul rădăcinilor: S3=x1x2x3=(1−i)⋅1⋅(1+i)=2=−cS_3 = x_1x_2x_3 = (1-i)\cdot1\cdot(1+i)=2 = -c, deci c=−2c=-2.
42 puncte
Coeficienții sunt a=−3a=-3, b=4b=4, c=−2c=-2, iar polinomul este P(x)=x3−3x2+4x−2P(x)=x^3-3x^2+4x-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.