MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡x(y)+log⁡y(x)=4x2+y2=20\begin{cases} \log_{\sqrt{x}}(y) + \log_{\sqrt{y}}(x) = 4 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: x>0x > 0, y>0y > 0, x≠1x \neq 1, y≠1y \neq 1 din condițiile logaritmilor.
23 puncte
Folosind schimbarea de bază, exprimăm log⁡x(y)=2log⁡xy\log_{\sqrt{x}}(y) = 2 \log_x y și log⁡y(x)=2log⁡yx\log_{\sqrt{y}}(x) = 2 \log_y x. Notăm t=log⁡xyt = \log_x y, atunci prima ecuație devine 2(t+1t)=4⇒t+1t=22(t + \frac{1}{t}) = 4 \Rightarrow t + \frac{1}{t} = 2.
32 puncte
Rezolvăm ecuația t+1t=2⇒t2−2t+1=0⇒(t−1)2=0⇒t=1t + \frac{1}{t} = 2 \Rightarrow t^2 - 2t + 1 = 0 \Rightarrow (t-1)^2 = 0 \Rightarrow t = 1.
42 puncte
Din t=1t = 1, avem log⁡xy=1⇒y=x\log_x y = 1 \Rightarrow y = x.
51 punct
Substituim y=xy = x în a doua ecuație: x2+x2=20⇒2x2=20⇒x2=10⇒x=10x^2 + x^2 = 20 \Rightarrow 2x^2 = 20 \Rightarrow x^2 = 10 \Rightarrow x = \sqrt{10} (deoarece x>0x > 0), deci y=10y = \sqrt{10}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.