MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăArii și volumeAplicații ale derivatelor
Un rezervor cilindric trebuie proiectat pentru a avea un volum fix de 50 m³. Costul materialului pentru suprafața laterală este de 20 euro/m², iar pentru cele două baze este de 30 euro/m². Determinați raza bazei și înălțimea cilindrului care minimizează costul total al materialului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrieți formulele: volumul V=πr2h=50V = \pi r^2 h = 50, suprafața laterală Al=2πrhA_l = 2\pi r h, și suprafața bazelor Ab=2πr2A_b = 2\pi r^2.
23 puncte
Exprimați costul total: C=20⋅2πrh+30⋅2πr2=40πrh+60πr2C = 20 \cdot 2\pi r h + 30 \cdot 2\pi r^2 = 40\pi r h + 60\pi r^2. Din volum, obțineți h=50πr2h = \frac{50}{\pi r^2} și înlocuiți în cost: C(r)=40πr⋅50πr2+60πr2=2000r+60πr2C(r) = 40\pi r \cdot \frac{50}{\pi r^2} + 60\pi r^2 = \frac{2000}{r} + 60\pi r^2.
33 puncte
Derivați C(r)C(r): C′(r)=−2000r2+120πrC'(r) = -\frac{2000}{r^2} + 120\pi r. Set C′(r)=0C'(r) = 0 pentru puncte critice: 120πr=2000r2120\pi r = \frac{2000}{r^2}, deci 120πr3=2000120\pi r^3 = 2000, iar r3=2000120π=503πr^3 = \frac{2000}{120\pi} = \frac{50}{3\pi}. Rezolvați: r=503π3r = \sqrt[3]{\frac{50}{3\pi}}.
42 puncte
Calculați h=50πr2h = \frac{50}{\pi r^2} folosind valoarea lui rr, și verificați că aceasta minimizează costul prin semnul derivatei a doua sau analiză.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.