MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie G={(ab−ba)∣a,b∈R,a2+b2≠0}G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a^2 + b^2 \neq 0 \right\}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice A=(ab−ba),B=(cd−dc)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \in G, produsul A⋅B=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)A \cdot B = \begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} are forma cerută și (ac−bd)2+(ad+bc)2=(a2+b2)(c2+d2)≠0(ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 = (a^2+b^2)(c^2+d^2) \neq 0, deci aparține lui GG.
23 puncte
Înmulțirea matricelor este asociativă în general, deci restricția la GG păstrează asociativitatea.
33 puncte
Elementul neutru este matricea identitate I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care aparține lui GG (pentru a=1,b=0a=1, b=0). Se verifică că pentru orice A∈GA \in G, A⋅I=I⋅A=AA \cdot I = I \cdot A = A.
42 puncte
Pentru A=(ab−ba)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in G, inversa este A−1=1a2+b2(a−bba)A^{-1} = \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}, care aparține lui GG deoarece (aa2+b2)2+(−ba2+b2)2=1a2+b2≠0\left(\frac{a}{a^2+b^2}\right)^2 + \left(\frac{-b}{a^2+b^2}\right)^2 = \frac{1}{a^2+b^2} \neq 0. Se verifică că A⋅A−1=A−1⋅A=IA \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.