MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup abelian. Apoi, determinați toate elementele de ordin finit din acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, avem ∣z1∣=1|z_1| = 1 și ∣z2∣=1|z_2| = 1, deci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, așadar z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G, (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3).
32 puncte
Elementul neutru: 1∈C1 \in \mathbb{C} cu ∣1∣=1|1| = 1, deci 1∈G1 \in G, și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=1⋅z=zz \cdot 1 = 1 \cdot z = z.
42 puncte
Elementul invers: pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci z−1=1zz^{-1} = \frac{1}{z} există și ∣z−1∣=1∣z∣=1|z^{-1}| = \frac{1}{|z|} = 1, așadar z−1∈Gz^{-1} \in G.
51 punct
Comutativitatea: înmulțirea numerelor complexe este comutativă, deci pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1, deci grupul este abelian.
61 punct
Elementele de ordin finit: un element z∈Gz \in G are ordin finit dacă există n∈N∗n \in \mathbb{N}^* astfel încât zn=1z^n = 1. Deoarece z=eiθz = e^{i\theta} cu θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi), avem zn=einθ=1z^n = e^{in\theta} = 1 dacă și numai dacă nθ=2kπn\theta = 2k\pi pentru un k∈Zk \in \mathbb{Z}. Astfel, elementele de ordin finit sunt rădăcinile de ordin nn ale unității, adică z=e2πik/nz = e^{2\pi i k / n} pentru k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.