MediuMatematică aplicatăClasa 11

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăAplicații ale derivatelorFuncția de gradul al II-lea
O companie produce un produs. Costul total de producție este dat de funcția C(q)=1000+50q+0.1q2C(q) = 1000 + 50q + 0.1q^2, unde qq este cantitatea produsă în unități. Prețul de vânzare pe piață este descris de funcția p(q)=200−0.2qp(q) = 200 - 0.2q. Determinați cantitatea qq care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim obținut.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Scrierea funcției profitului: P(q)=p(q)⋅q−C(q)=(200−0.2q)q−(1000+50q+0.1q2)P(q) = p(q) \cdot q - C(q) = (200 - 0.2q)q - (1000 + 50q + 0.1q^2).
22 puncte
Simplificarea: P(q)=200q−0.2q2−1000−50q−0.1q2=−0.3q2+150q−1000P(q) = 200q - 0.2q^2 - 1000 - 50q - 0.1q^2 = -0.3q^2 + 150q - 1000.
33 puncte
Găsirea derivatei și a punctelor critice: P′(q)=−0.6q+150P'(q) = -0.6q + 150. Setând P′(q)=0P'(q) = 0, obținem q=250q = 250.
42 puncte
Verificarea că este maxim: P′′(q)=−0.6<0P''(q) = -0.6 < 0, deci punctul critic este maxim.
51 punct
Calculul profitului maxim: P(250)=−0.3⋅2502+150⋅250−1000=−18750+37500−1000=17750P(250) = -0.3 \cdot 250^2 + 150 \cdot 250 - 1000 = -18750 + 37500 - 1000 = 17750.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.