MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=2\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2, ∫02f(x) dx=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 și ∫13f(x) dx=26\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 26, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Exprimă integralele definite folosind o primitivă a lui ff. O primitivă este F(x)=x44+ax33+bx22+cxF(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{a x^3}{3} + \frac{b x^2}{2} + c x. Atunci ∫−11f(x)dx=F(1)−F(−1)=(14+a3+b2+c)−(14−a3+b2−c)=2a3+2c\int_{-1}^{1} f(x) dx = F(1)-F(-1) = \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) - \left(\frac{1}{4}-\frac{a}{3}+\frac{b}{2}-c\right) = \frac{2a}{3}+2c.
23 puncte
Scrie celelalte două integrale: ∫02f(x)dx=F(2)−F(0)=(4+8a3+2b+2c)−0=4+8a3+2b+2c\int_{0}^{2} f(x) dx = F(2)-F(0) = \left(4+\frac{8a}{3}+2b+2c\right) - 0 = 4+\frac{8a}{3}+2b+2c și ∫13f(x)dx=F(3)−F(1)=(814+9a+9b2+3c)−(14+a3+b2+c)=20+26a3+4b+2c\int_{1}^{3} f(x) dx = F(3)-F(1) = \left(\frac{81}{4}+9a+\frac{9b}{2}+3c\right) - \left(\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c\right) = 20 + \frac{26a}{3}+4b+2c.
32 puncte
Formează sistemul de ecuații folosind condițiile date: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2, 4+8a3+2b+2c=104+\frac{8a}{3}+2b+2c=10, 20+26a3+4b+2c=2620+\frac{26a}{3}+4b+2c=26. Simplifică: 2a3+2c=2\frac{2a}{3}+2c=2 (1), 8a3+2b+2c=6\frac{8a}{3}+2b+2c=6 (2), 26a3+4b+2c=6\frac{26a}{3}+4b+2c=6 (3).
42 puncte
Rezolvă sistemul. Din (1): a3+c=1⇒c=1−a3\frac{a}{3}+c=1 \Rightarrow c=1-\frac{a}{3}. Înlocuiește în (2): 8a3+2b+2(1−a3)=6⇒8a3+2b+2−2a3=6⇒2a+2b=4⇒a+b=2\frac{8a}{3}+2b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{8a}{3}+2b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 2a+2b=4 \Rightarrow a+b=2. Înlocuiește în (3): 26a3+4b+2(1−a3)=6⇒26a3+4b+2−2a3=6⇒8a+4b=4⇒2a+b=1\frac{26a}{3}+4b+2\left(1-\frac{a}{3}\right)=6 \Rightarrow \frac{26a}{3}+4b+2-\frac{2a}{3}=6 \Rightarrow 8a+4b=4 \Rightarrow 2a+b=1. Sistemul devine a+b=2a+b=2 și 2a+b=12a+b=1. Scăzând, obținem a=−1a=-1, apoi b=3b=3, iar din c=1−a3c=1-\frac{a}{3} rezultă c=1+13=43c=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.