MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Notăm I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
23 puncte
Folosim proprietatea ∫0af(x)dx=∫0af(a−x)dx\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx: I=∫0π(π−x)sin⁡(π−x)1+cos⁡2(π−x)dx=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin(\pi - x)}{1 + \cos^2(\pi - x)} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx, deoarece sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x și cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi - x) = -\cos x, deci cos⁡2(π−x)=cos⁡2x\cos^2(\pi - x) = \cos^2 x.
32 puncte
Adunăm cele două expresii pentru I: 2I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1 + \cos^2 x} dx.
43 puncte
Calculăm J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} dx prin substituția u=cos⁡xu = \cos x, du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx: J=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}.
51 punct
Obținem 2I=π×π2=π222I = \pi \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=2\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2, ∫02f(x) dx=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 și ∫13f(x) dx=26\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 26, determinați coeficienții aa, bb și cc.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.