MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se rezolvă ecuația f(x)=0f(x)=0, adică x2−5x+6=0x^2 -5x+6=0, obținând rădăcinile x=2x=2 și x=3x=3.
23 puncte
Se observă că pe intervalul [2,3][2,3], f(x)≤0f(x) \leq 0, iar pe [3,4][3,4], f(x)≥0f(x) \geq 0, deci aria este ∫24∣f(x)∣ dx=∫23−f(x) dx+∫34f(x) dx\int_{2}^{4} |f(x)| \, dx = \int_{2}^{3} -f(x) \, dx + \int_{3}^{4} f(x) \, dx, folosind proprietatea de aditivitate a integralelor și definiția valorii absolute.
34 puncte
Se calculează integralele: ∫23−(x2−5x+6) dx=∫23(−x2+5x−6) dx=[−x33+5x22−6x]23=16\int_{2}^{3} -(x^2 -5x+6) \, dx = \int_{2}^{3} (-x^2 +5x -6) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} -6x \right]_{2}^{3} = \frac{1}{6} și ∫34(x2−5x+6) dx=[x33−5x22+6x]34=16\int_{3}^{4} (x^2 -5x+6) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} +6x \right]_{3}^{4} = \frac{1}{6}, apoi se adună rezultatele, obținând aria totală 13\frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Ușor#2Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#3Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=2\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 2, ∫02f(x) dx=10\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 10 și ∫13f(x) dx=26\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 26, determinați coeficienții aa, bb și cc.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.