MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că 1+2i1+2i este rădăcină a polinomului și că P(0)=10P(0)=10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și toate rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+2i1+2i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−2i1-2i este rădăcină. Notăm a treia rădăcină cu α∈R\alpha \in \mathbb{R}.
23 puncte
Polinomul se poate scrie ca P(x)=(x−(1+2i))(x−(1−2i))(x−α)=(x2−2x+5)(x−α)P(x) = (x - (1+2i))(x - (1-2i))(x - \alpha) = (x^2 - 2x + 5)(x - \alpha).
32 puncte
Din condiția P(0)=10P(0)=10, avem P(0)=(02−2⋅0+5)(0−α)=5(−α)=−5α=10P(0) = (0^2 - 2\cdot0 + 5)(0 - \alpha) = 5(-\alpha) = -5\alpha = 10, deci α=−2\alpha = -2.
42 puncte
Înlocuind α=−2\alpha = -2 în expresia polinomului, obținem P(x)=(x2−2x+5)(x+2)=x3+0x2+x+10P(x) = (x^2 - 2x + 5)(x + 2) = x^3 + 0x^2 + x + 10, deci a=0a=0, b=1b=1, c=10c=10. Rădăcinile sunt 1+2i1+2i, 1−2i1-2i și −2-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.