MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} definim operația ∗* prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Demonstrați că (R∖{1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{1\}, *) este un grup comutativ.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, avem x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Presupunem că x∗y=1x * y = 1, atunci x+y−xy=1⇒(x−1)(y−1)=0x + y - xy = 1 \Rightarrow (x-1)(y-1) = 0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, contradicție. Astfel, x∗y∈R∖{1}x * y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.
22 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈R∖{1}x, y, z \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, calculăm (x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz, care sunt egale, deci operația este asociativă.
32 puncte
Determinăm elementul neutru: căutăm ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Din x∗e=x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x * e = x + e - xe = x \Rightarrow e(1-x) = 0, deci e=0e=0. Verificăm: 0∈R∖{1}0 \in \mathbb{R} \setminus \{1\} și x∗0=x+0−x⋅0=xx * 0 = x + 0 - x \cdot 0 = x, 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0 \cdot x = x.
42 puncte
Determinăm inversul: pentru orice x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, căutăm x′x' cu x∗x′=0x * x' = 0. Din x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−x=xx−1x + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1-x} = \frac{x}{x-1}. Verificăm că x′≠1x' \neq 1: dacă xx−1=1⇒x=x−1⇒0=−1\frac{x}{x-1} = 1 \Rightarrow x = x-1 \Rightarrow 0=-1, imposibil.
52 puncte
Verificăm comutativitatea: x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx * y = x + y - xy = y + x - yx = y * x, deci operația este comutativă. Concluzie: (R∖{1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{1\}, *) este un grup comutativ.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.