MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile reale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 în progresie aritmetică. Știind că P(1)=4P(1) = 4 și P(2)=10P(2) = 10, determinați polinomul P(x)P(x) și rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile în progresie aritmetică: x1=d−rx_1 = d - r, x2=dx_2 = d, x3=d+rx_3 = d + r.
23 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x1x3+x2x3=bx_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b, x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c.
33 puncte
Calculăm P(1)=1+a+b+c=4P(1) = 1 + a + b + c = 4 și P(2)=8+4a+2b+c=10P(2) = 8 + 4a + 2b + c = 10, obținând sistemul: {a+b+c=34a+2b+c=2\begin{cases} a + b + c = 3 \\ 4a + 2b + c = 2 \end{cases}.
42 puncte
Din sistem și relațiile lui Viète, găsim a=−6a = -6, b=11b = 11, c=−6c = -6, deci P(x)=x3−6x2+11x−6P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 cu rădăcinile 1,2,31, 2, 3 (verificabil din d=2d=2, r=1r=1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.