MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x≠−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=xy+x+yx * y = xy + x + y pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Verificați dacă (G,∗)(G, *) este un grup. În caz afirmativ, determinați elementul neutru și inversul unui element a∈Ga \in G.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea operației. Pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, calculăm (x∗y)∗z=(xy+x+y)z+(xy+x+y)+z=xyz+xz+yz+xy+x+y+z(x * y) * z = (xy + x + y)z + (xy + x + y) + z = xyz + xz + yz + xy + x + y + z și x∗(y∗z)=x(yz+y+z)+x+(yz+y+z)=xyz+xy+xz+x+yz+y+zx * (y * z) = x(yz + y + z) + x + (yz + y + z) = xyz + xy + xz + x + yz + y + z. Se observă egalitatea, deci operația este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee. Din x∗e=xx * e = x, avem xe+x+e=xxe + x + e = x, deci xe+e=0xe + e = 0, adică e(x+1)=0e(x+1) = 0. Cum x≠−1x \neq -1, rezultă e=0e = 0. Verificăm că 0∗x=x0 * x = x, deci elementul neutru este 00.
33 puncte
Pentru a∈Ga \in G, căutăm a′a' astfel încât a∗a′=0a * a' = 0. Avem aa′+a+a′=0aa' + a + a' = 0, deci aa′+a′=−aaa' + a' = -a, adică a′(a+1)=−aa'(a+1) = -a. Deoarece a≠−1a \neq -1, obținem a′=−aa+1a' = \frac{-a}{a+1}. Verificăm că a′∗a=0a' * a = 0, deci inversul lui aa este −aa+1\frac{-a}{a+1}.
41 punct
Concluzie: (G,∗)(G, *) este un grup cu elementul neutru 00 și inversul dat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.