MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorPrimitiveMonotonie și convexitate
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=∫0x(t2−4t+3)dtf(x) = \int_{0}^{x} (t^2 - 4t + 3) dt. Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff și calculați ∫04f(x)dx\int_{0}^{4} f(x) dx utilizând proprietăți ale integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se calculează primitiva funcției g(t)=t2−4t+3g(t) = t^2 - 4t + 3, obținând G(t)=t33−2t2+3tG(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t, apoi f(x)=G(x)−G(0)=x33−2x2+3xf(x) = G(x) - G(0) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x.
23 puncte
Se studiază semnul derivatei f′(x)=x2−4x+3=(x−1)(x−3)f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3). Astfel, ff este crescătoare pe (−∞,1]∪[3,∞)(-\infty, 1] \cup [3, \infty) și descrescătoare pe [1,3][1,3].
35 puncte
Se calculează ∫04f(x)dx\int_{0}^{4} f(x) dx folosind liniaritatea integralei: ∫04(x33−2x2+3x)dx=[x412−2x33+3x22]04=25612−1283+24=643−1283+24=−643+24=−643+723=83\int_{0}^{4} \left( \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{256}{12} - \frac{128}{3} + 24 = \frac{64}{3} - \frac{128}{3} + 24 = -\frac{64}{3} + 24 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} = \frac{8}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.