MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Considerăm mulțimea Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\} a numerelor întregi Gaussiene, unde i2=−1i^2 = -1. Cu adunarea și înmulțirea obișnuite a numerelor complexe, arătați că (Z[i],+,⋅)(\mathbb{Z}[i], +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Justificați răspunsul. Apoi, determinați toate unitățile din Z[i]\mathbb{Z}[i] și rezolvați ecuația z2=5+12iz^2 = 5 + 12i pentru z∈Z[i]z \in \mathbb{Z}[i].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că adunarea este internă, asociativă, comutativă, are element neutru 00 și fiecare element are opus.
23 puncte
Verificăm că înmulțirea este internă, asociativă, și că sunt satisfăcute legile distributive.
32 puncte
Arătăm că Z[i]\mathbb{Z}[i] nu este corp deoarece, de exemplu, 22 nu are invers în Z[i]\mathbb{Z}[i]. Unitățile sunt acele z=a+biz = a+bi cu N(z)=a2+b2=1N(z)=a^2+b^2=1, adică ±1,±i\pm 1, \pm i.
42 puncte
Rezolvăm ecuația z2=5+12iz^2 = 5+12i. Notăm z=x+yiz=x+yi, obținem sistemul x2−y2=5x^2-y^2=5 și 2xy=122xy=12. Soluțiile sunt x=3,y=2x=3, y=2 sau x=−3,y=−2x=-3, y=-2, deci z=±(3+2i)z=\pm(3+2i).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.