MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=3x+y=6\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 3 \\ x + y = 6 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: log⁡2(x)+log⁡2(y)=log⁡2(xy)=3\log_2(x) + \log_2(y) = \log_2(xy) = 3, deci xy=23=8xy = 2^3 = 8.
22 puncte
Sistemul devine: {xy=8x+y=6\begin{cases} xy = 8 \\ x + y = 6 \end{cases}.
32 puncte
Formăm ecuația de gradul al doilea: t2−(x+y)t+xy=0t^2 - (x+y)t + xy = 0, adică t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: Δ=36−32=4\Delta = 36 - 32 = 4, deci t1,2=6±22t_{1,2} = \frac{6 \pm 2}{2}, adică t1=2t_1 = 2, t2=4t_2 = 4. Soluțiile sunt perechile (x,y)=(2,4)(x,y) = (2,4) și (4,2)(4,2).
51 punct
Verificăm condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0, care sunt îndeplinite de ambele soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.