MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciNumere Complexe
Fie mulțimea M={A=(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Se consideră operațiile de adunare și înmulțire a matricelor. a) Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. b) Demonstrați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp. c) Construiți un izomorfism între corpul MM și corpul numerelor complexe C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea față de adunare: pentru A=(ab−ba),B=(cd−dc)∈MA=\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} c & d \\ -d & c \end{pmatrix} \in M, A+B=(a+cb+d−(b+d)a+c)∈MA+B=\begin{pmatrix} a+c & b+d \\ -(b+d) & a+c \end{pmatrix} \in M. Adunarea este asociativă și comutativă, cu element neutru (0000)∈M\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in M și opusul lui AA este (−a−bb−a)∈M\begin{pmatrix} -a & -b \\ b & -a \end{pmatrix} \in M.
23 puncte
Înmulțirea: AB=(ac−bdad+bc−(ad+bc)ac−bd)∈MAB=\begin{pmatrix} ac-bd & ad+bc \\ -(ad+bc) & ac-bd \end{pmatrix} \in M, deci închisă. Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare (proprietăți matriceale). Elementul neutru este I=(1001)∈MI=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in M. Pentru A≠0A \neq 0 (deci a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0), inversul este A−1=1a2+b2(a−bba)∈MA^{-1}= \frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \in M, deci orice element nenul are invers în MM.
32 puncte
Se definește f:M→Cf: M \to \mathbb{C} prin f((ab−ba))=a+bif\left(\begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}\right) = a + bi. ff este bijectivă: injectivă și surjectivă. f(A+B)=f(A)+f(B)f(A+B)=f(A)+f(B) și f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B), deci ff este morfism de inele.
42 puncte
Deoarece ff este izomorfism și C\mathbb{C} este corp, rezultă că MM este corp izomorf cu C\mathbb{C}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.