MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteTrigonometrie
Calculați integrala definită ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm substituția x=π−tx = \pi - t. Atunci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin: pentru x=0x=0, t=πt=\pi; pentru x=πx=\pi, t=0t=0. Obținem I=∫π0(π−t)sin⁡(π−t)1+cos⁡2(π−t)(−dt)=∫0π(π−t)sin⁡t1+cos⁡2tdt=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{1+\cos^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{1+\cos^2 t} dt = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx.
22 puncte
Adunăm expresia originală a lui I cu cea obținută: 2I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdx=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx + \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx.
33 puncte
Calculăm J=∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdxJ = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx. Folosim substituția u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx. Limitele: când x=0x=0, u=1u=1; când x=πx=\pi, u=−1u=-1. Atunci J=∫1−111+u2(−du)=∫−1111+u2du=arctan⁡u∣−11=arctan⁡(1)−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π2J = \int_{1}^{-1} \frac{1}{1+u^2} (-du) = \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+u^2} du = \arctan u \big|_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{2}.
42 puncte
Înlocuim J în expresia lui 2I2I: 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.