MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul de ecuații: {log⁡2x+log⁡4y=4log⁡2y+log⁡4x=5\begin{cases} \log_2 x + \log_4 y = 4 \\ \log_2 y + \log_4 x = 5 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Condiții de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0 deoarece argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive.\n
22 puncte
Aducerea la aceeași bază: log⁡4y=log⁡2ylog⁡24=log⁡2y2\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2} și log⁡4x=log⁡2x2\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}. Sistemul devine: {log⁡2x+12log⁡2y=4log⁡2y+12log⁡2x=5\begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 y = 4 \\ \log_2 y + \frac{1}{2} \log_2 x = 5 \end{cases}.\n
32 puncte
Notăm a=log⁡2xa = \log_2 x și b=log⁡2yb = \log_2 y. Obținem: {a+12b=4b+12a=5\begin{cases} a + \frac{1}{2} b = 4 \\ b + \frac{1}{2} a = 5 \end{cases}.\n
43 puncte
Rezolvăm sistemul. Din prima ecuație: a=4−12ba = 4 - \frac{1}{2} b. Înlocuim în a doua: b+12(4−12b)=5⇒b+2−14b=5⇒34b=3⇒b=4b + \frac{1}{2}(4 - \frac{1}{2} b) = 5 \Rightarrow b + 2 - \frac{1}{4} b = 5 \Rightarrow \frac{3}{4} b = 3 \Rightarrow b = 4. Atunci a=4−12⋅4=2a = 4 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 2. Deci log⁡2x=2⇒x=4\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4 și log⁡2y=4⇒y=16\log_2 y = 4 \Rightarrow y = 16.\n
52 puncte
Verificare: pentru x=4,y=16x=4, y=16, prima ecuație: log⁡24+log⁡416=2+2=4\log_2 4 + \log_4 16 = 2 + 2 = 4, a doua ecuație: log⁡216+log⁡44=4+1=5\log_2 16 + \log_4 4 = 4 + 1 = 5. Soluția este (x,y)=(4,16)(x, y) = (4, 16).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.