MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie parabola de ecuație f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c cu a≠0a \neq 0. Aceasta intersectează axa Ox în punctele A și B, iar axa Oy în punctul C. Tangentele la parabolă în punctele A și B se intersectează în punctul D. Determinați relația dintre coeficienții a, b, c astfel încât triunghiul ABD să fie dreptunghic.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsiți coordonatele punctelor A și B ca rădăcinile ecuației ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0. Notăm x1x_1 și x2x_2 soluțiile, deci A(x1,0)A(x_1, 0) și B(x2,0)B(x_2, 0).
23 puncte
Determinați ecuațiile tangentelor în A și B. Derivata funcției este f′(x)=2ax+bf'(x) = 2ax + b. Tangenta în A are panta mA=2ax1+bm_A = 2ax_1 + b și ecuația y=mA(x−x1)y = m_A(x - x_1), iar în B are panta mB=2ax2+bm_B = 2ax_2 + b și ecuația y=mB(x−x2)y = m_B(x - x_2).
32 puncte
Găsiți coordonatele punctului D ca intersecție a tangentelor. Rezolvând sistemul {y=mA(x−x1)y=mB(x−x2)\begin{cases} y = m_A(x - x_1) \\ y = m_B(x - x_2) \end{cases}, obțineți D(x1+x22,−Δ4a)D\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{-\Delta}{4a} \right), unde Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.
42 puncte
Condiția ca triunghiul ABD să fie dreptunghic, de exemplu cu unghiul drept în D, implică mAD⋅mBD=−1m_{AD} \cdot m_{BD} = -1. Calculați pantele mAD=yDxD−x1m_{AD} = \frac{y_D}{x_D - x_1} și mBD=yDxD−x2m_{BD} = \frac{y_D}{x_D - x_2}, și deduceți că b2−4ac=4b^2 - 4ac = 4 sau o relație similară după simplificare, de exemplu Δ=4\Delta = 4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.