MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameMatrici
Fie matricea A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}. Să se determine polinomul caracteristic pA(λ)p_A(\lambda) și să se verifice că AA satisface ecuația sa caracteristică (teorema Cayley-Hamilton). Apoi, folosind această teoremă, să se calculeze inversa matricei AA.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Polinomul caracteristic este pA(λ)=det⁡(A−λI)=det⁡(1−λ234−λ)=(1−λ)(4−λ)−6=λ2−5λ−2p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{pmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2.
24 puncte
Conform teoremei Cayley-Hamilton, pA(A)=0p_A(A) = 0, adică A2−5A−2I2=O2A^2 - 5A - 2I_2 = O_2. Verificăm: A2=(1234)(1234)=(7101522)A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}, apoi A2−5A−2I2=(7101522)−5(1234)−2(1001)=(7101522)−(5101520)−(2002)=(0000)A^2 - 5A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.
33 puncte
Din A2−5A−2I2=O2A^2 - 5A - 2I_2 = O_2, putem scrie A(A−5I2)=2I2A(A - 5I_2) = 2I_2, deci A−1=12(A−5I2)=12((1234)−(5005))=12(−423−1)=(−2132−12)A^{-1} = \frac{1}{2}(A - 5I_2) = \frac{1}{2} \left( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} \right) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.