MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie M2(R)M_2(\mathbb{R}) inelul matricelor pătratice de ordinul 2 cu elemente reale. Considerăm submulțimea S={(ab−ba)∣a,b∈R}S = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Demonstrați că SS este un subinel al lui M2(R)M_2(\mathbb{R}). Apoi, determinați toate matricele A∈SA \in S care satisfac ecuația A2−2A+I=0A^2 - 2A + I = 0, unde II este matricea identitate.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Se observă că SS este nevidă, deoarece pentru a=0,b=0a=0, b=0 se obține matricea nulă (0000)∈S\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in S.\n
22 puncte
Pentru orice două matrice (a1b1−b1a1),(a2b2−b2a2)∈S\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ -b_1 & a_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_2 & b_2 \\ -b_2 & a_2 \end{pmatrix} \in S, diferența lor este (a1−a2b1−b2−(b1−b2)a1−a2)\begin{pmatrix} a_1 - a_2 & b_1 - b_2 \\ -(b_1 - b_2) & a_1 - a_2 \end{pmatrix}, care are forma cerută, deci aparține lui SS.\n
32 puncte
Produsul acestor matrice este (a1a2−b1b2a1b2+b1a2−(a1b2+b1a2)a1a2−b1b2)\begin{pmatrix} a_1 a_2 - b_1 b_2 & a_1 b_2 + b_1 a_2 \\ -(a_1 b_2 + b_1 a_2) & a_1 a_2 - b_1 b_2 \end{pmatrix}, care are forma cerută, deci aparține lui SS.\n
42 puncte
Fie A=(ab−ba)∈SA = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \in S. Atunci A2=(a2−b22ab−2aba2−b2)A^2 = \begin{pmatrix} a^2 - b^2 & 2ab \\ -2ab & a^2 - b^2 \end{pmatrix}, iar A2−2A+I=(a2−b2−2a+12ab−2b−2ab+2ba2−b2−2a+1)A^2 - 2A + I = \begin{pmatrix} a^2 - b^2 - 2a + 1 & 2ab - 2b \\ -2ab + 2b & a^2 - b^2 - 2a + 1 \end{pmatrix}.\n
53 puncte
Ecuația A2−2A+I=0A^2 - 2A + I = 0 implică sistemul: {a2−b2−2a+1=02ab−2b=0\begin{cases} a^2 - b^2 - 2a + 1 = 0 \\ 2ab - 2b = 0 \end{cases}. Din a doua ecuație, 2b(a−1)=02b(a-1)=0, deci b=0b=0 sau a=1a=1. Dacă b=0b=0, din prima ecuație a2−2a+1=0a^2 - 2a + 1=0, deci a=1a=1. Dacă a=1a=1, din prima ecuație 1−b2−2+1=01 - b^2 - 2 + 1=0, adică b2=0b^2=0, deci b=0b=0. Astfel, singura soluție este a=1,b=0a=1, b=0, adică A=(1001)=IA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.