MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x2−(m+1)x+mf(x) = x^2 - (m+1)x + m, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât graficul funcției ff să intersecteze axa OxOx în două puncte distincte AA și BB cu abscisele în intervalul (−1,3)(-1, 3). În plus, arătați că pentru orice mm care verifică condiția, produsul absciselor este mai mic decât 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Condiția ca ecuația f(x)=0f(x)=0 să aibă rădăcini reale distincte este Δ>0\Delta > 0. Δ=(m+1)2−4m=m2−2m+1=(m−1)2\Delta = (m+1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2. Deci Δ>0⇔m≠1\Delta > 0 \Leftrightarrow m \neq 1.
24 puncte
Condițiile ca rădăcinile x1,x2x_1, x_2 să fie în intervalul (−1,3)(-1,3): x1,x2∈(−1,3)x_1, x_2 \in (-1,3) dacă și numai dacă f(−1)>0f(-1) > 0, f(3)>0f(3) > 0 și vârful parabolei are abscisa în intervalul (−1,3)(-1,3). f(−1)=(−1)2−(m+1)(−1)+m=1+m+1+m=2m+2>0⇒m>−1f(-1) = (-1)^2 - (m+1)(-1) + m = 1 + m + 1 + m = 2m + 2 > 0 \Rightarrow m > -1. f(3)=9−3(m+1)+m=9−3m−3+m=6−2m>0⇒m<3f(3) = 9 - 3(m+1) + m = 9 - 3m - 3 + m = 6 - 2m > 0 \Rightarrow m < 3. Abscisa vârfului este xv=m+12∈(−1,3)⇒−1<m+12<3⇒−2<m+1<6⇒−3<m<5x_v = \frac{m+1}{2} \in (-1,3) \Rightarrow -1 < \frac{m+1}{2} < 3 \Rightarrow -2 < m+1 < 6 \Rightarrow -3 < m < 5.
32 puncte
Intersectând condițiile: m≠1m \neq 1, m>−1m > -1, m<3m < 3, −3<m<5-3 < m < 5, se obține m∈(−1,1)∪(1,3)m \in (-1, 1) \cup (1, 3).
42 puncte
Conform relațiilor lui Viete, produsul absciselor este x1x2=mx_1 x_2 = m. Pentru m∈(−1,1)∪(1,3)m \in (-1,1) \cup (1,3), se observă că m<3m < 3, deci produsul este mai mic decât 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.