MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+ax+bP(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, unde a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Știind că x1=1+ix_1 = 1 + i este o rădăcină a lui P(x)P(x), determinați aa și bb, apoi găsiți celelalte rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Astfel, (x−(1+i))(x−(1−i))=x2−2x+2(x - (1+i))(x - (1-i)) = x^2 - 2x + 2 divide P(x)P(x).
23 puncte
Scriem P(x)=(x2−2x+2)Q(x)P(x) = (x^2 - 2x + 2)Q(x). Cum P(x)P(x) este de gradul 3, Q(x)Q(x) este de gradul 1, fie Q(x)=x−cQ(x) = x - c.
32 puncte
Atunci P(x)=(x2−2x+2)(x−c)=x3−(c+2)x2+(2c+2)x−2cP(x) = (x^2 - 2x + 2)(x - c) = x^3 - (c+2)x^2 + (2c+2)x - 2c.
42 puncte
Comparăm coeficienții cu P(x)=x3−3x2+ax+bP(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, obținem sistemul: −(c+2)=−3- (c+2) = -3, 2c+2=a2c+2 = a, −2c=b-2c = b. Rezolvând, găsim c=1c=1, a=4a=4, b=−2b=-2.
51 punct
Celelalte rădăcini sunt 1−i1-i și c=1c=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.