MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeȘiruri de numere reale
Se consideră polinomul P(x)=x4+px3+qx2+rx+sP(x) = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s. Rădăcinile lui P(x)P(x) sunt în progresie aritmetică, suma lor este 8, iar produsul lor este 16. Determinați coeficienții p,q,r,sp, q, r, s.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie rădăcinile a−3d,a−d,a+d,a+3da-3d, a-d, a+d, a+3d. Suma rădăcinilor este 4a=84a = 8, deci a=2a=2.
22 puncte
Produsul rădăcinilor este (2−3d)(2−d)(2+d)(2+3d)=16(2-3d)(2-d)(2+d)(2+3d) = 16.
33 puncte
Simplificăm: (4−9d2)(4−d2)=16⇒16−40d2+9d4=16⇒9d4−40d2=0⇒d2(9d2−40)=0(4-9d^2)(4-d^2) = 16 \Rightarrow 16 -40d^2 +9d^4 =16 \Rightarrow 9d^4 -40d^2=0 \Rightarrow d^2(9d^2-40)=0. Presupunem d≠0d \neq 0 pentru rădăcini distincte, deci d2=409d^2 = \frac{40}{9}, iar d=±2103d = \pm \frac{2\sqrt{10}}{3}.
43 puncte
Folosim relațiile lui Viete: p=−suma ra˘da˘cinilor=−8p = - \text{suma rădăcinilor} = -8, s=∏xi=16s = \prod x_i = 16. Pentru qq și rr, calculăm: q=∑i<jxixj=4q = \sum_{i<j} x_i x_j = 4 și r=−∑i<j<kxixjxk=−32r = -\sum_{i<j<k} x_i x_j x_k = -32. (Se pot obține prin expansiunea polinomului cu rădăcinile cunoscute sau folosind formule simetrice.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.