MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Fie mulțimea A={a+b3:a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{3} : a, b \in \mathbb{Z} \} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm închiderea mulțimii AA față de adunare și înmulțire. Pentru orice x=a1+b13,y=a2+b23∈Ax = a_1 + b_1\sqrt{3}, y = a_2 + b_2\sqrt{3} \in A, avem x+y=(a1+a2)+(b1+b2)3∈Ax+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{3} \in A și x⋅y=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)3∈Ax \cdot y = (a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{3} \in A.
24 puncte
Verificarea axiomelor inelului: adunarea este asociativă și comutativă, elementul neutru este 0=0+030 = 0 + 0\sqrt{3}, fiecare element a+b3a+b\sqrt{3} are simetricul −a−b3-a - b\sqrt{3}, înmulțirea este asociativă și comutativă, elementul neutru este 1=1+031 = 1 + 0\sqrt{3}, și distributivitatea: x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅zx \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z pentru orice x,y,z∈Ax,y,z \in A.
33 puncte
Discuția dacă este corp: AA nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers multiplicativ în AA. De exemplu, pentru 2=2+03∈A2 = 2 + 0\sqrt{3} \in A, 2≠02 \neq 0, presupunem că există x=c+d3∈Ax = c + d\sqrt{3} \in A cu 2⋅x=12 \cdot x = 1, adică 2c+2d3=12c + 2d\sqrt{3} = 1, ceea ce implică 2c=12c=1 și 2d=02d=0, dar c∈Zc \in \mathbb{Z}, deci 2c=12c=1 nu are soluție în Z\mathbb{Z}. Astfel, 22 nu are invers în AA.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.