MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorEcuații logaritmice
Să se determine domeniul de definiție al funcției f(x)=log⁡2(x2−4x+3)f(x) = \sqrt{\log_2(x^2 - 4x + 3)} și apoi să se rezolve ecuația f(x)=1f(x) = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se determină condiția pentru argumentul logaritmului: x2−4x+3>0x^2 - 4x + 3 > 0. Rezolvând inecuația, se obține x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty).
23 puncte
Se impune condiția pentru radical: log⁡2(x2−4x+3)≥0\log_2(x^2 - 4x + 3) \geq 0, deci x2−4x+3≥1⇒x2−4x+2≥0x^2 - 4x + 3 \geq 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 2 \geq 0. Rezolvând, se obține x≤2−2x \leq 2 - \sqrt{2} sau x≥2+2x \geq 2 + \sqrt{2}.
32 puncte
Se intersectează condițiile de la pașii 1 și 2. Domeniul de definiție este x∈(−∞,2−2]∪[2+2,∞)x \in (-\infty, 2 - \sqrt{2}] \cup [2 + \sqrt{2}, \infty).
42 puncte
Pentru ecuația f(x)=1f(x) = 1, se are log⁡2(x2−4x+3)=1\sqrt{\log_2(x^2 - 4x + 3)} = 1, deci log⁡2(x2−4x+3)=1⇒x2−4x+3=2⇒x2−4x+1=0\log_2(x^2 - 4x + 3) = 1 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 2 \Rightarrow x^2 - 4x + 1 = 0.
51 punct
Se rezolvă ecuația x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0, obținând x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}. Se verifică că ambele soluții aparțin domeniului de definiție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.