MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie G=R∖{1}G = \mathbb{R} \setminus \{1\}. Se definește operația ∗* pe GG prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Gx,y \in G. Să se arate că (G,∗)(G, *) este grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea. Pentru x,y∈Gx,y \in G, x∗y=xy−x−y+2=(x−1)(y−1)+1x*y = xy - x - y + 2 = (x-1)(y-1) + 1. Dacă x∗y=1x*y = 1, atunci (x−1)(y−1)=0(x-1)(y-1)=0, deci x=1x=1 sau y=1y=1, contradicție. Așadar x∗y∈Gx*y \in G.
23 puncte
Verificăm asociativitatea. Pentru x,y,z∈Gx,y,z \in G, calculăm (x∗y)∗z=xyz−xy−xz−yz+x+y+z(x*y)*z = xyz - xy - xz - yz + x + y + z și x∗(y∗z)=xyz−xy−xz−yz+x+y+zx*(y*z) = xyz - xy - xz - yz + x + y + z, deci egal.
32 puncte
Determinăm elementul neutru. Căutăm e∈Ge \in G cu x∗e=xx*e = x. Din x∗e=xx*e = x obținem e=2e=2. Verificăm că 2∈G2 \in G și x∗2=2∗x=xx*2 = 2*x = x.
42 puncte
Determinăm elementul simetric. Pentru x∈Gx \in G, căutăm x′x' cu x∗x′=2x*x' = 2. Rezolvând, obținem x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1}, care aparține lui GG deoarece x≠1x \neq 1 și xx−1≠1\frac{x}{x-1} \neq 1.
51 punct
Verificăm comutativitatea: x∗y=xy−x−y+2=yx−y−x+2=y∗xx*y = xy - x - y + 2 = yx - y - x + 2 = y*x, deci operația este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.