MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaSisteme de Ecuații NeliniareGeometrie Analitică
Rezolvați sistemul de ecuații: {x2+y=5y2+x=5\begin{cases} x^2 + y = 5 \\ y^2 + x = 5 \end{cases}. Determinați numărul de soluții reale și interpretați geometric sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scădem cele două ecuații: x2+y−(y2+x)=0⇒x2−y2−(x−y)=0⇒(x−y)(x+y)−(x−y)=0⇒(x−y)(x+y−1)=0x^2 + y - (y^2 + x) = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 - (x - y) = 0 \Rightarrow (x-y)(x+y) - (x-y) = 0 \Rightarrow (x-y)(x+y-1)=0. Deci x=yx=y sau x+y=1x+y=1.
23 puncte
Cazul I: x=yx=y. Înlocuim în prima ecuație: x2+x=5⇒x2+x−5=0x^2 + x = 5 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 0. Discriminantul Δ1=1+20=21>0\Delta_1 = 1 + 20 = 21 > 0, deci x=−1±212x = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2}. Atunci y=xy=x, deci perechile (−1+212,−1+212)\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) și (−1−212,−1−212)\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right).
32 puncte
Cazul II: x+y=1⇒y=1−xx+y=1 \Rightarrow y=1-x. Înlocuim în prima ecuație: x2+(1−x)=5⇒x2−x−4=0x^2 + (1-x) = 5 \Rightarrow x^2 - x - 4 = 0. Discriminantul Δ2=1+16=17>0\Delta_2 = 1 + 16 = 17 > 0, deci x=1±172x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}. Atunci y=1−x=1∓172y=1-x = \frac{1 \mp \sqrt{17}}{2}. Perechile: (1+172,1−172)\left( \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \right) și (1−172,1+172)\left( \frac{1 - \sqrt{17}}{2}, \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \right).
42 puncte
Sistemul are patru soluții reale. Interpretarea geometrică: ecuația x2+y=5x^2 + y = 5 reprezintă parabola y=5−x2y = 5 - x^2 (cu axa verticală), iar ecuația y2+x=5y^2 + x = 5 reprezintă parabola x=5−y2x = 5 - y^2 (cu axa orizontală). Intersecția lor sunt cele patru puncte găsite.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.