MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 11

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaDerivateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că punctul A(1,2)A(1,2) aparține graficului, că tangenta la grafic în punctul de abscisă x=0x=0 are panta 11, și că funcția are un minim egal cu −1-1, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Din A(1,2)∈GfA(1,2) \in G_f rezultă f(1)=2f(1)=2, adică a+b+c=2a + b + c = 2.
22 puncte
Panta tangentei la grafic în x=0x=0 este f′(0)f'(0). Deoarece f′(x)=2ax+bf'(x)=2ax+b, avem f′(0)=b=1f'(0)=b=1, deci b=1b=1.
33 puncte
Minimul funcției este atins în vârful parabolei, cu xv=−b2a=−12ax_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2a} și f(xv)=−1f(x_v) = -1. Calculăm f(xv)=a(−12a)2+1⋅(−12a)+c=14a−12a+c=−14a+cf(x_v) = a\left(-\frac{1}{2a}\right)^2 + 1\cdot\left(-\frac{1}{2a}\right) + c = \frac{1}{4a} - \frac{1}{2a} + c = -\frac{1}{4a} + c. Setăm −14a+c=−1-\frac{1}{4a} + c = -1, deci c=−1+14ac = -1 + \frac{1}{4a}.
43 puncte
Substituim b=1b=1 și expresia pentru cc în a+b+c=2a+b+c=2: a+1+(−1+14a)=2⇒a+14a=2a + 1 + (-1 + \frac{1}{4a}) = 2 \Rightarrow a + \frac{1}{4a} = 2. Înmulțim cu 4a4a: 4a2+1=8a⇒4a2−8a+1=04a^2 + 1 = 8a \Rightarrow 4a^2 - 8a + 1 = 0. Rezolvăm: a=8±64−168=8±488=8±438=1±32a = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 16}}{8} = \frac{8 \pm \sqrt{48}}{8} = \frac{8 \pm 4\sqrt{3}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. Deoarece minimul este −1-1 și a≠0a \neq 0, ambele valori sunt acceptabile dacă verifică condițiile. Pentru a=1+32a = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}, c=−1+14(1+32)c = -1 + \frac{1}{4\left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}; similar pentru a=1−32a = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}. Verificăm că f(x)f(x) are minim −1-1: din f(xv)=−1f(x_v) = -1 și a>0a > 0 pentru ambele valori (deoarece 1−32>01 - \frac{\sqrt{3}}{2} > 0), deci soluțiile sunt valide. În final, b=1b=1, iar aa și cc ca mai sus. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.