MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2−2mx+m2−4mf(x) = x^2 - 2mx + m^2 - 4m, unde mm este un parametru real. Determinați valorile lui mm pentru care graficul funcției ff intersectează axa OxOx în două puncte distincte, iar distanța dintre aceste puncte este mai mică decât 4. Pentru mm din intervalul găsit, determinați minimul funcției ff și punctul în care se atinge.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Condiția pentru două rădăcini reale distincte: Δ>0\Delta > 0. Δ=(−2m)2−4⋅1⋅(m2−4m)=4m2−4m2+16m=16m\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 - 4m) = 4m^2 - 4m^2 + 16m = 16m. Deci 16m>0  ⟹  m>016m > 0 \implies m > 0.\
23 puncte
Distanța dintre rădăcini: ∣x1−x2∣=Δ=16m=4m|x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta} = \sqrt{16m} = 4\sqrt{m}. Condiția 4m<4  ⟹  m<1  ⟹  m<14\sqrt{m} < 4 \implies \sqrt{m} < 1 \implies m < 1. Combinând cu m>0m > 0, obținem m∈(0,1)m \in (0,1).\
32 puncte
Minimul funcției ff este atins în vârful parabolei. Abscisa vârfului: xv=−b2a=2m2=mx_v = \frac{-b}{2a} = \frac{2m}{2} = m. Valoarea minimă: f(xv)=m2−2m⋅m+m2−4m=m2−2m2+m2−4m=−4mf(x_v) = m^2 - 2m \cdot m + m^2 - 4m = m^2 - 2m^2 + m^2 - 4m = -4m.\
42 puncte
Concluzie: pentru m∈(0,1)m \in (0,1), minimul funcției este −4m-4m și se atinge în punctul de abscisă x=mx = m.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.