MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 mulțimea permutărilor de gradul 3. Notăm operația de compoziție cu ∘\circ. Arătați că (S3,∘)(S_3, \circ) este un grup și calculați ordinul fiecărui element din S3S_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Definirea mulțimii și operației. Mulțimea S3S_3 conține toate permutările de trei elemente, adică funcții bijective de la {1,2,3}\{1,2,3\} la {1,2,3}\{1,2,3\}. Operația este compoziția funcțiilor, notată ∘\circ.
26 puncte
Verificarea axiomelor de grup. Asociativitatea: compunerea funcțiilor este întotdeauna asociativă. Element neutru: permutarea identică ee cu e(i)=ie(i)=i pentru i=1,2,3i=1,2,3. Inversul: pentru orice permutare σ∈S3\sigma \in S_3, există o permutare σ−1\sigma^{-1} astfel încât σ∘σ−1=σ−1∘σ=e\sigma \circ \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \circ \sigma = e. Închiderea: compunerea a două permutări din S3S_3 rezultă într-o permutare din S3S_3.
32 puncte
Calculul ordinelor. Listați cele 6 permutări: identitatea (ordinul 1), transpozițiile (ordinul 2), ciclurile de lungime 3 (ordinul 3). Pentru fiecare, găsiți cea mai mică putere pozitivă care dă identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.