MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Considerăm mulțimea Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}\mathbb{Z}[i] = \{a+bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}, unde i2=−1i^2 = -1, cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe. a) Arătați că Z[i]\mathbb{Z}[i] este un inel comutativ. b) Determinați unitățile (elementele inversabile) ale inelului Z[i]\mathbb{Z}[i]. c) Rezolvați în Z[i]\mathbb{Z}[i] ecuația z2=3+4iz^2 = 3 + 4i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Se verifică că Z[i]\mathbb{Z}[i] este parte stabilă față de adunare și înmulțire: pentru z1=a1+b1i,z2=a2+b2iz_1=a_1+b_1i, z_2=a_2+b_2i, avem z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i∈Z[i]z_1+z_2=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i \in \mathbb{Z}[i] și z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i∈Z[i]z_1z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)i \in \mathbb{Z}[i], deoarece sume și produse de numere întregi sunt întregi. Elementul neutru la adunare este 0=0+0i∈Z[i]0=0+0i \in \mathbb{Z}[i]. Pentru orice z=a+biz=a+bi, opusul este −a−bi∈Z[i]-a-bi \in \mathbb{Z}[i]. Astfel, Z[i]\mathbb{Z}[i] este subinel al inelului C\mathbb{C}, deci este inel comutativ.
23 puncte
Un element z=a+bi∈Z[i]z=a+bi \in \mathbb{Z}[i] este unitate dacă există w=c+di∈Z[i]w=c+di \in \mathbb{Z}[i] astfel încât zw=1zw=1. Atunci ∣z∣2⋅∣w∣2=1|z|^2 \cdot |w|^2 =1, unde ∣z∣2=a2+b2|z|^2=a^2+b^2. Cum a2+b2a^2+b^2 și c2+d2c^2+d^2 sunt numere întregi nenegative, avem a2+b2=1a^2+b^2=1. Soluțiile în Z\mathbb{Z} sunt a=±1,b=0a=\pm1, b=0 sau a=0,b=±1a=0, b=\pm1. Deci unitățile sunt 1,−1,i,−i1, -1, i, -i.
33 puncte
Fie z=x+yiz=x+yi cu x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}. Atunci z2=(x2−y2)+2xyi=3+4iz^2=(x^2-y^2)+2xyi=3+4i. Se obține sistemul: {x2−y2=32xy=4\begin{cases} x^2-y^2=3 \\ 2xy=4 \end{cases}. Din a doua ecuație, xy=2xy=2. Căutăm soluții întregi. Dacă x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}, posibilitățile sunt (x,y)=(1,2),(2,1),(−1,−2),(−2,−1)(x,y)=(1,2), (2,1), (-1,-2), (-2,-1). Verificând în prima ecuație: pentru (2,1)(2,1): 4−1=34-1=3 adevărat; pentru (1,2)(1,2): 1−4=−31-4=-3 fals; iar cele negative dau aceeași verificare. Deci soluțiile sunt z=2+iz=2+i și z=−2−iz=-2-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.